现代控制理论 ——06 状态反馈和状态观测器

# 状态反馈和状态观测器

# 状态反馈

状态反馈的公式可表示为：

$u=Lv-Kx \tag{1}$

定常系统 $\left\{\begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}\right.$ 表示为 $\left\{\begin{aligned}\dot{x}&=(A-BK)x+BLv\\y&=Cx\end{aligned}\right.$ 。

引入状态反馈并不影响系统的能控性，但有可能影响系统的能观测性。

# 极点配置定理

给定系统 $\Sigma:\left\{\begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx+Du\end{aligned}\right.$ 通过状态反馈 $u=Lv-Kx$ 能使闭环极点位于预先任意指定位置上的充要条件是该系统 $\Sigma$ 完全能控。

证明

充分性：

必要性：

# 单输入系统极点配置算法

求 $1\times n$ 的实向量 $K$ ，使得矩阵 $(A-bK)$ 的特征值为给定的复共轭成对出现的 $\lambda_1^*,\lambda_2^*,\dots,\lambda_n^*$ 。

算法 1 适用于系统维数较高，控制矩阵中非零元素较多的情况。

计算前先判断系统是否完全可控，即判断 $rank(U_c)=n$ 。具体原因见极点配置定理

求 $A$ 的特征多项式： $a(s)=det(sI-A)=s^n+a_1s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n$ 。
求闭环系统的期望特征多项式： $a^*(s)=(s-\lambda_1^*)(s-\lambda_2^*)\dots (s-\lambda_n^*)=s^n+a_1^*s^{n-1}+\dots+a_{n-1}s+a_n$ 。
计算： $\tilde{K}=\begin{bmatrix}a_n^*-a_n&a_{n-1}^*-a_{n-1}&\dots&a_1^*-a_1\end{bmatrix}$ 。
计算： $Q=\begin{bmatrix}b&Ab&\dots&A^{n-1}b\end{bmatrix}\cdot{}\begin{bmatrix}a_{n-1}&\dots&a_1&1\\\vdots&\cdot^{\cdot^{\cdot}}&\cdot^{\cdot^{\cdot}}&\\a_1&\cdot^{\cdot^{\cdot}}&0&\\1\end{bmatrix}$ 。
令 $P=Q^{-1}$ ，求 $K=\tilde{K}P$ 。

例题

给定系统的状态空间表达式 $\dot{x}=\begin{bmatrix}0&0&0\\1&-1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}x+\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}u$ ，求状态反馈矩阵 $K$ 使得反馈后闭环特征值为 $\lambda_1^*=-2,\lambda_{2,3}^*=-1\pm j\sqrt{3}$ 。

由于 $rank(U_c)=rank(\begin{bmatrix}b&Ab&A^2b\end{bmatrix})=rank\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}=3$ ，故系统完全可控。

$det({sI-A})=det\begin{bmatrix}s&0&0\\-1&s+1&0\\0&-1&s+1\end{bmatrix}=s^3+2s^2+s$ ，得到 $a_1=2,a_2=1,a_3=0$ 。
$(s-\lambda_1^*)(s-\lambda_2^*)(s-\lambda_3^*)=(s+2)(s+1+j\sqrt3)(s+1-j\sqrt3)=s^3+4s^2+8s+8$ ，得到 $a_1^*=4,a_2^*=8,a_3^*=8$ 。
$\tilde{K}=\begin{bmatrix}a_3^*-a_3&a_2^*-a_2&a_1^*-a_1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}8&7&2\end{bmatrix}$ 。
$Q=\begin{bmatrix}b&Ab&A^2b\end{bmatrix}\cdot{}\begin{bmatrix}a_2&a_1&1\\a_1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}$ 。
$P=Q^{-1}=\begin{bmatrix}1&2&1\\1&1&0\\1&0&0\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-2&1\end{bmatrix}$ ， $K=\tilde{K}P=\begin{bmatrix}8&7&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&-1\\1&-2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3&3\end{bmatrix}$ 。

算法 2 适用于系统维数较低，控制矩阵中只有一个非零元素的情况。

将 $u=-Kx$ 代入系统状态方程 $sI-A+bK$ ，求得相应闭环系统的特征多项式： $a(s)=s^n+a_1(K)s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}(K)s+a_n(K)$ 。
计算理想特征多项式： $a^*(x)=(s-\lambda_1^*)(s-\lambda_2^*)\cdots(s-\lambda_n^*)=s^n+a_1^*s^{n-1}+\cdots+a_{n-1}^*s+a_n^*$ 。
将 $a(s)$ 与 $a^*(s)$ 各项一一对应即可求解。

例题

由于 $rank(U_c)=rank(\begin{bmatrix}b&Ab&A^2b\end{bmatrix})=rank\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-1\\0&0&1\end{bmatrix}=3$ ，故系统完全可控。

设所需的状态反馈矩阵 $K$ 为 $K=\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}$ ，则经过状态反馈 $u=v-Kx$ 后闭环系统的特征多项式为:

$\begin{aligned}a(s)&=det(sI-A+bK)\\&=det\begin{Bmatrix}\begin{bmatrix}s&0&0\\0&s&0\\0&0&s\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&0&0\\1&-1&0\\0&1&-1\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}\end{Bmatrix}\\&=s^3+(2+k_1)s^2+(2k_1+k_2+1)s+(k_1+k_2+k_3)\end{aligned}$

由题，目标闭环期望极点对应的闭环特征多项式为： $a^*(s)=(s+2)(s+1+j\sqrt{3})(s+1-j\sqrt{3})=s^3+4s^2+8s+8$ 。
对比 $a(s)$ 与 $a^*(s)$ ，可得 $2+k_1=4,2k_1+k_2+1=8,k_1+k_2+k_3=8$ 。解得 $K=\begin{bmatrix}k_1&k_2&k_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&3&3\end{bmatrix}$ 。

# 状态观测器

# 状态观测器的存在条件

充分条件：能观测。
充要条件：不能观测的部分渐进稳定。

给定定常系统 $\Sigma:\left\{\begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx\end{aligned}\right.$ ，若状态完全能观测，则状态向量 $x$ 能够由输入 $x$ 和输出 $y$ 表示。

证明

由于 $\left\{\begin{aligned}y&=Cx\\\dot{y}&=C\dot{x}=CAx+CBu\\y^{(n)}&=CA\dot{x}+CB\dot{u}=CA^2x+CABu+CB\dot{u}\\ &\vdots\\y^{(n-1)}&=CA^{n-1}x+CA^{n-2}Bu+\cdots+CBu^{(n-2)}\end{aligned}\right.$ ，则

$\begin{bmatrix}y\\\dot{y}-CBu\\y^{(n)}-CABu-CB\dot{u}\\ \vdots\\y^{(n-1)}-CA^{n-2}Bu-\cdots-CBu^{(n-2)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C\\CA\\CA^2\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}x=Nx$

当且仅当 $rank(N)=n$ 时，上述 $x$ 有唯一解。 $N$ 即是能观性矩阵。