现代控制理论 ——05 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

# 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析

# 李氏稳定性的定义

何为平衡状态？对于一个系统 $\dot{x}=f(x,t)$，若果存在状态 $x_e$ 满足 $\dot{x}_e\equiv 0$，那么该状态即为平衡状态。

1. 稳定：对于任意实数 $\varepsilon>0$，都存在一个实数 $\delta>0$ 满足 $||x_0-x_e||\leq\delta$，从任意 $x_0$ 触发的解都能够满足 $||x_t-x_e||\leq\varepsilon$，则称 $x_e$ 在李雅普诺夫意义下是稳定的。
2. 渐进稳定：当上述解能够满足 $||x_t-x_e||\leq\mu$，也就是能够收敛到 $x_e$ 时，则称系统渐进稳定。
3. 不稳定：无论 $\delta$ 有多小，都会使得 $||x_t-x_e||>\varepsilon$，则称系统不稳定。

4. 大范围渐进稳定：从状态空间中所有初始点出发的轨迹都具有渐进稳定性，那么状态 $x_e$ 为大范围渐进稳定。

5. 正定函数：对于函数 $V(x)$，在区域 $S$ 内的所有 $x$ 都有：① $V(x)$ 中的各分量的偏导均存在；②$V(0)=0$ ；③当 $x\neq0$ 时， $V(x)>0 (V(x)\geq0)$ 。则称该函数是正定 (半正定) 的。

# 李雅普诺夫第一方法

1. 线性系统的稳定性判据

李雅普诺夫稳定的充要条件：系统矩阵 $A$ 的全部特征值实部大于 0，即位于复平面左半部。

2. 非线性系统的稳定性判据

对于非线性系统 $\dot{x}=f(x)$，讨论其在可能平衡状态 $x_e$ 的稳定性。引入新向量 $y=x-x_e$，那么系统的状态方程转换为 $\dot{y}=Ay+G(y)y$，其中 $A$ 为雅克比矩阵。

......

# 李雅普诺夫第二方法

对于状态方程为 $\dot{x}=f(x,t),f(0,t)=0$ 的系统，存在一个具有连续偏导的标量函数 $V(x,t)$，满足

1. $V(x,t)$ 正定，$\dot{V}(x,t)$ 半正定，则系统在原点一致稳定；在此基础上，若对于任意 $t_0$ 和 $x_0\neq0$，在 $t\geq t_0$ 时不恒等于 0，则系统在原点渐进稳定；在此基础上，若随着 $||x||\to \infty$，$V(x,t)\to \infty$，则系统在原点大范围渐进稳定。

2. $V(x,t)$ 正定，$\dot{V}(x,t)$ 正定，则系统在原点不稳定；

# 李雅普诺夫方程判断线性系统的稳定性

1. 在连续系统 $\dot{x}=Ax$ 中，在平衡状态 $x=0$ 处是大范围渐进稳定的充要条件：对于给定的正定对称实矩阵 $Q$，存在一个正定实对称矩阵 $P$ ，满足 $A^TP+PA=-Q$。（其中 $x^TPx$ 就是李雅普诺夫函数 ）

2. 在离散系统 $x(k+1)=Gx(k)$，在平衡状态 $x=0$ 处是渐进稳定的充要条件：对于给定的正定对称实矩阵 $Q$，存在一个正定实对称矩阵 $P$ ，满足 $G^TPG-P=-Q$。（其中 $x^TPx$ 就是李雅普诺夫函数 ）