现代控制理论 ——04 线性系统的能控性和能观测性

# 线性系统的能控性和能观测性

# 能控性

能控性的简单理解为输入能够控制系统的状态变量 $x(t)$ 和输出变量 $y(t)$）。

例子

以下图结构图系统为例，输入 $u$ 只能影响 $x_1$ 而不能影响 $x_2$ ，因此可以说该系统中 $x_2$ 不可控， $x_1$ 可控，系统整体不可控。

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# 线性定常系统的能控性定义

对于线性定常系统：

$$\dot{x}=Ax+Bu \tag{1}$$

如果存在输入控制 $u(t)$ 在有限的时间 $[t_0,t_1]$ 内能将系统从初始状态 $x(t_0)$ 转移到任意的状态 $x(t_1)$ 。

# 线性定常系统的能控性判据

1. 判据 1（PHB 判据）：对于式（1），系统，该系统完全能控的充要条件为能控性矩阵

$$U_c=\begin{bmatrix}B&AB&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix} \tag{2}$$

的秩为 $n$ ，即 $rankU_c =n$。

• 对于线性系统，经过线性非奇异变换后，状态能控性不变。（即能控性与系统有关，与状态变量的选取无关）

A = [1,2,1;0,1,0;1,0,3];   % A 矩阵必须为 n*n 矩阵

B = [1,0;0,1;0,0];         % B 矩阵必须为 n*k 矩阵

[n, ~] = size(A);          % 获取状态变量维数

Uc = [B]; temp = B;

for i = 1:n-1

    temp = A*temp;

    Uc = [Uc,temp];    % 能控矩阵

end

disp(rank(Uc)==n);     % 判断状态变量维数是否与能控矩阵的秩一致

2. 判据 2：对于式（1）系统，若系统矩阵 $A$ 具有互不相同的特征值，则系统状态可控的充要条件是，系统经过线性非奇异变换后，矩阵 $A$ 转换为对角标准型，状态方程为 $\dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n\end{bmatrix}\hat{x}+\hat{B}u$，其中 $\hat{B}$ 中不含全为 0 的行。

该判据的优点是能够容易判断出能控性，并且能够直接看出不可控的部分，但缺点在于需要等价变换。

注意，上述判据 2 存在不适用情况：

• 若系统矩阵 $A$ 为对角形但含有相同元素；
• 若系统矩阵 $A$ 的若尔当标准型中有两个若尔当块的特征值相同；

若系统矩阵 $A$ 具有重特征值 $\lambda_1(m_1重),\lambda_2(m_2重),\cdots,\lambda_k(m_k重)$ 且每个重特征值只有一个若尔当块时时，则系统状态可控的充要条件是，系统经过线性非奇异变换后，系统转换为若尔当标准型，状态方程为 $\dot{\hat{x}}=\begin{bmatrix}J_1&0&\cdots&0\\0&J_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&J_n\end{bmatrix}\hat{x}+\hat{B}u$，其中 $\hat{B}$ 中与每个若尔当块 $J_i$ 最后一行对应的行中各元素不全为 0。

# 线性定常系统的输出能控性

很多情况下，被控制量往往是系统的输出而非状态变量，因此还需分析输出能控性。

1. 输出能控性的定义：对于线性定常系统： $\dot{x}=Ax+Bu$， 如果存在输入控制 $u(t)$ 在有限的时间 $[t_0,t_1]$ 内能将系统从初始状态 $y(t_0)$ 转移到任意的状态 $y(t_1)$ ，那么可以说明系统是输出的完全可控。
2. 输出可控性的判据：系统输出完全可控的充要条件是矩阵 $\begin{bmatrix}CB&CAB&CA^2B&\cdots&CA^{n-1}B\end{bmatrix}$ 的秩等于输出的维数，即矩阵 $C$ 的维数。

A = [-4,1;2,-3];   % A 矩阵必须为 n*n 矩阵

B = [1;2];         % B 矩阵必须为 n*k 矩阵

C = [1,0];         % C 矩阵必须为 p*n 矩阵

[n, ~] = size(A);  % 获取状态变量维数

[p, ~] = size(C);  % 获取输出维数

Uc = [C*B]; temp = eye(n,n);

for i = 1:n-1

    temp = temp*A;

    Uc = [Uc,C*temp*B];

end

disp(rank(Uc)==p);

# 能观测性

能观测性是指通过对输出的测量来确定系统的状态变量，反映了从系统外部观测系统内部的能力。

在前面状态方程的解方面的内容中，我们知道线性时不变系统动态方程（取初态时间 $t_0=0$）的解为：

$$x(t)=e^{A(t)}x(0)+\int_{0}^te^{A(t-\tau)}Bu(\tau)\,d\tau, t\geq0 \tag{3}$$

上式中，系统矩阵 $A,B$ 以及控制输入 $u(t)$ 已知，因此只需要关注初态 $x(0)$ 即可得到 $x(t)$。

# 线性定常系统的能观性定义

对于线性定常系统：

$$\left\{ \begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx \end{aligned}\right. \tag{4}$$

如果在任意给定的输入 $u(t)$ 下，根据输出 $y(t)$ 在有限的时间 $[t_0,t_1]$ 内的测量值唯一确定初始状态 $x(t_0)$ ，则称系统在 $t_0$ 时刻可观测。若在任意时刻都可观测，则该系统是状态完全可观测的。

# 线性定常系统的能观性判据

1. 判据 1：对于式（4），系统，该系统完全能控的充要条件为能控性矩阵

$$U_o=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix} \tag{5}$$

的秩为 $n$ ，即 $rankU_o =n$。

A = [2,-1;1,-3];   % A 矩阵必须为 n*n 矩阵

B = [-1;1];        % B 矩阵必须为 n*k 矩阵

C = [1,0;-1,0];    % C 矩阵必须为 p*n 矩阵

[n, ~] = size(A);  % 获取状态变量维数

[p, ~] = size(C);  % 获取输出维数

Uo = [C]; %temp = eye(n,n);

for i = 1:n-1

    Uo = [Uo;Uo(end-p+1:end,:)*A];

end

disp(rank(Uo)==p);

2. 判据 2：对于式（4）系统，若系统矩阵 $A$ 具有互不相同的特征值，则系统状态可观的充要条件是，系统经过线性非奇异变换后，矩阵 $A$ 转换为对角标准型，状态方程为 $\left\{\begin{aligned}\dot{\hat{x}}&=\begin{bmatrix}\lambda_1&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n\end{bmatrix}\hat{x}\\y&=\hat{C}\hat{x}\end{aligned}\right.$，其中 $\hat{C}$ 中不含全为 0 的列。

若系统矩阵 $A$ 具有重特征值 $\lambda_1(m_1重),\lambda_2(m_2重),\cdots,\lambda_k(m_k重)$ 且每个重特征值只有一个若尔当块时时，则系统状态可控的充要条件是，系统经过线性非奇异变换后，系统转换为若尔当标准型，状态方程为 $\left\{\begin{aligned}\dot{\hat{x}}&=\begin{bmatrix}J_1&0&\cdots&0\\0&J_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&J_n\end{bmatrix}\hat{x}\\y&=\hat{C}\hat{x}\end{aligned}\right.$，其中 $\hat{C}$ 中与每个若尔当块 $J_i$ 第一列对应的行中各元素不全为 0。

# 能控性与能观测性的对偶关系

# 对偶系统

对于两个系统 $\Sigma_1:\left\{ \begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx \end{aligned} \right.$ ， $\Sigma_2:\left\{ \begin{aligned}\dot{z}&=A^Tz+C^Tv\\w&=B^Tz \end{aligned} \right.$，其中 $x$ 与 $z$ 的维度相同，$u$ 与 $v$ 的维度相同，$y$ 与 $w$ 的维度相同，这两个系统即是对偶系统。

# 对偶原理

对于上述两个系统 $\Sigma_1,\Sigma_2$，$\Sigma_1$ 能观 $\Leftrightarrow$ $\Sigma_2$ 能控，$\Sigma_1$ 能控 $\Leftrightarrow$ $\Sigma_2$ 能观。

# 线性定常系统的结构分解

结构分解就是将系统的可控（可观）和不可控（不可观）的部分分离开，进而理解系统的内部。

对于系统 $\left\{ \begin{aligned}\dot{x}&=Ax+Bu\\y&=Cx \end{aligned} \right.$，以下将进行能控性分解、能观性分解和标准分解。

# 能控性分解

假设系统不完全可控，即能控性矩阵的秩为 $n_1<n$。存在非奇异矩阵 $T_c$ 进行状态变换 $x=T_c\tilde{x}$ ，使得系统的状态空间方程变换为：$\left\{ \begin{aligned}\dot{\tilde{x}}&=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}u\\y&=\tilde{C}x \end{aligned} \right.$，其中 $\tilde{A}=T_c^{-1}AT_c=\begin{bmatrix}\tilde{A}_{11}&\tilde{A}_{12}\\0&\tilde{A}_{22}\end{bmatrix}$，$\tilde{B}=T_c^{-1}B=\begin{bmatrix}\tilde{B}_{1}\\0\end{bmatrix}$，$\tilde{C}=CT_c=\begin{bmatrix}\tilde{C}_{1}&\tilde{C}_2\end{bmatrix}$，其中 $\tilde{A}_{11},\tilde{A}_{12},\tilde{A}_{22}$ 均为分块矩阵，各自的维数为 $n_1\times n_1,n_1\times (n-n_1),(n-n_1)\times (n-n_1)$，$\tilde{B}_{1}$ 为 $n_1\times p$ 的分块矩阵，$\tilde{C}_{1},\tilde{C}_{2}$ 为 $q\times n_1,q\times (n-n_1)$ 的分块矩阵。

那么系统的 $n_1$ 维能控部分可表示为：$\dot{\tilde{x}}=\tilde{A}_{11}\tilde{x}_1+\tilde{A}_{12}\tilde{x}_2+\tilde{B}_1u$，$n-n_1$ 维不可控部分可表示为：$\tilde{x}_2=\tilde{A}_{22}\tilde{x}_2$ 。

那么变换矩阵 $T_c$ 如何获取呢？

• 从能控性矩阵 $U_c=\begin{bmatrix}B&AB&\cdots&A^{n-1}B\end{bmatrix}$ 中选取 $n_1$ 个线性无关的列向量作为 $T_c$ 矩阵的前 $n_1$ 列。
• 其余 $n-n_1$ 列可在保证 $T_c$ 非奇异的条件下任意选取。

# 能观性分解

假设系统不完全能观，即能观性矩阵的秩为 $n_2<n$。存在非奇异矩阵 $T_o$ 进行状态变换 $x=T_o\tilde{x}$ ，使得系统的状态空间方程变换为：$\left\{ \begin{aligned}\dot{\tilde{x}}&=\tilde{A}\tilde{x}+\tilde{B}u\\y&=\tilde{C}x \end{aligned} \right.$，其中 $\tilde{A}=T_o^{-1}AT_o=\begin{bmatrix}\tilde{A}_{11}&0\\\tilde{A}_{21}&\tilde{A}_{22}\end{bmatrix}$，$\tilde{B}=T_o^{-1}B=\begin{bmatrix}\tilde{B}_{1}\\\tilde{B}_{2}\end{bmatrix}$，$\tilde{C}=CT_o=\begin{bmatrix}\tilde{C}_{1}&0\end{bmatrix}$，其中 $\tilde{A}_{11},\tilde{A}_{12},\tilde{A}_{22}$ 均为分块矩阵，各自的维数为 $n_2\times n_2,(n-n_2)\times n_2,(n-n_2)\times (n-n_2)$，$\tilde{B}_{1},\tilde{B}_{2}$ 为 $n_2\times p,(n-n_2)\times p$ 的分块矩阵，$\tilde{C}_{1}$ 为 $q\times n_2$ 的分块矩阵。

那么系统的 $n_2$ 维能观部分可表示为：$\left\{\begin{aligned}&\dot{\tilde{x}}=\tilde{A}_{11}\tilde{x}_1+\tilde{B}_1u\\&y_1=\tilde{C}_1\tilde{x}_1\end{aligned}\right.$，$n-n_2$ 维不可观部分可表示为：$\tilde{x}_2=\tilde{A}_{21}\tilde{x}_1+\tilde{A}_{22}\tilde{x}_2+\tilde{B}_{2}u$ 。

同样关键是变换矩阵 $T_o$ 如何获取。

• 从能观性矩阵 $U_o=\begin{bmatrix}C\\CA\\\vdots\\CA^{n-1}\end{bmatrix}$ 中选取 $n_2$ 个线性无关的行向量作为 $T_o^{-1}$ 矩阵的前 $n_2$ 行。
• 其余 $n-n_2$ 列可在保证 $T_o^{-1}$ 非奇异的条件下任意选取。

# 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系

在单输入单输出系统中，系统能控能观的充要条件是传递函数中没有零极点相消的现象。

# 能控标准型

在单输入单输出系统（$\dot{x}=Ax+bu$），若系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $b$ 表示如下，那么其为状态空间表达式的能控标准型。

$$A=\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\\-a_n&-a_{n-1}&-a_{n-2}&\cdots&-a_1\end{bmatrix},b=\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$$

对于线性定常系统 $\dot{x}=Ax+bu$，若其能控，那么必定存在非奇异变换 $\tilde{x}=Px$ 将该系统转换为能控标准型 $\dot{\tilde{x}}=A_c\tilde{x}+b_cu$（$A_c,b_c$ 符合上述能控标准型）。非奇异变换 $P=\begin{bmatrix}p_1\\P_1A\\\vdots\\p_1A^{n-1}\end{bmatrix}$，其中 $p_1$ 由 $p_1=\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b&Ab&A^{2}b&\cdots&A^{n-1}b\end{bmatrix}^{-1}$ 确定。

# 能观测标准型

在单输入单输出系统（$\left\{\begin{aligned}&\dot{x}=Ax+bu\\&y=cx\end{aligned}\right.$），若系统矩阵 $A$ 和控制矩阵 $b$ 表示如下，那么其为状态空间表达式的能控标准型。

$$A=\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&-a_n\\1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&0&\cdots&0&-a_1\end{bmatrix},c=\begin{bmatrix}0&0&\cdots&0&1\end{bmatrix}$$

对于线性定常系统 $\left\{\begin{aligned}&\dot{x}=Ax+bu\\&y=cx\end{aligned}\right.$，若其能观，那么必定存在非奇异变换 $x=T\tilde{x}$ 将该系统转换为能控标准型 $\left\{\begin{aligned}&\dot{\tilde{x}}=A_o\tilde{x}+b_ou\\&y=c_o\tilde{x}\end{aligned}\right.$（$A_o,c_o$ 符合上述能观标准型）。非奇异变换 $T=\begin{bmatrix}T_1&AT_1&\cdots&A^{n-1}T_1\end{bmatrix}$，其中 $T_1$ 由 $T_1=\begin{bmatrix}c\\cA\\cA^{2}\\\vdots\\cA^{n-1}\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots\\0\\1\end{bmatrix}$ 确定。